Question

11．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-（a+\frac{1}{a}）x+lnx$，其中a＞0．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
（Ⅱ）当a≠1时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=2代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的导数值，再求出f（1），代入直线方程的点斜式求切线的方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的导函数，得到导函数的零点，根据a的范围由导函数的零点对函数定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号判断原函数的单调性；

解答 解：（Ⅰ）解：当a=2时，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+lnx，f′（x）=x-$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=-$\frac{1}{2}$，f（1）=-2．
∴切线方程为：y+2=-$\frac{1}{2}$（x-1），整理得：x+2y+3=0；
（Ⅱ）f′（x）x-（a+$\frac{1}{a}$）+$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-a）（x-\frac{1}{a}）}{x}$（x＞0），
令f′（x）=0，解得：x=a或x=$\frac{1}{a}$，
①若0＜a＜1，a＜$\frac{1}{a}$，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：

x	（0，a）	a	（a，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

∴f（x）在区间（0，a）和（$\frac{1}{a}$，+∞）内是增函数，在（a，$\frac{1}{a}$，）内是减函数；
②若a＞1，a＞$\frac{1}{a}$，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表：

x	（0，$\frac{1}{a}$）	$\frac{1}{a}$	（$\frac{1}{a}$，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

∴f（x）在区间（0，$\frac{1}{a}$）和（a，+∞）内是增函数，在（$\frac{1}{a}$，+∞）内是减函数．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法．