Question

15．已知函数f（x）=x³-3ax²-9a²x+a³．若a＞$\frac{1}{4}$，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，则a的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]
• B． （$\frac{1}{4}$，1]
• C． [-$\frac{1}{3}$，1]
• D． [0，$\frac{4}{5}$]

Answer 1

分析 问题转化为求导函数的绝对值在x∈[1，4a]上的最大值即可．

解答 解：f′（x）=3x²-6ax-9a²的图象是一条开口向上的抛物线，关于x=a对称．
若$\frac{1}{4}$＜a≤1，则f′（x）在[1，4a]上是增函数，
从而（x）在[1，4a]上的最小值是f′（1）=3-6a-9a²，最大值是f′（4a）=15a²．
由|f′（x）|≤12a，得-12a≤3x²-6ax-9a²≤12a，于是有3-6a-9a²≥-12a，且f′（4a）=15a²≤12a．
由f′（1）≥-12a得-$\frac{1}{3}$≤a≤1，由f′（4a）≤12a得0≤a≤$\frac{4}{5}$．
所以a∈（$\frac{1}{4}$，1]∩[-$\frac{1}{3}$，1]∩[0，$\frac{4}{5}$]，即a∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]．
若a＞1，则∵|f′（a）|=15a²＞12a．故当x∈[1，4a]时|f′（x）|≤12a不恒成立．
所以使|f′（x）|≤12a（x∈[1，4a]）恒成立的a的取值范围是（$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{5}$]，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．