Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
（1）证明：PA∥平面EDB；
（2）证明：DE⊥BC；
（3）求BD和平面EFD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连接AC与BD交于一点O，只需证明EO∥PA即可．
（2）只需证BC垂直于面PAD即可；
（3）只要找到BD在面DEF内的射影即可，然后将这个角放在直角三角形中求解．

解答： 证明：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO，
因为底面ABCD是正方形，所以点O是AC的中点，
在△PAC中，EO是中位线，所以PA∥EO．
而EO?面EDB，PA?面EDB，所以PA∥面EDB．
（2）因为PD⊥面ABCD，且BC?面ABCD，所以PD⊥BC．
因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥CD．
而CD∩DP=D，所以BC⊥面CDP，因为DE?面CDP，所以BC⊥DE．
（3）解：因为PD⊥面ABCD，且DC?面ABCD，所以PD⊥DC．
因为PD=PC，所以DE⊥PC．由（2）知DE⊥BC，而BC∩PC=C．
所以DE⊥面PCB，而PB?面PCB，所以DE⊥PB．
又有EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥面EFD．
所以∠BDF即BD和面EFD所成的角．
令PD=DC=1，则DB=

2

，PB=

3

，
所以cos∠BDF=cos∠DPB=

PD

PB

=

1

3

=

3

3

．
故直线BD与面DEF所成角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查了空间平行与垂直间关系的转化，同时线面角的计算方法．强调转化思想证平行与垂直；而线面角则应根据线面角的定义找到它在平面内的射影是关键．