Question

过抛物线y²=8x的焦点作直线L交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的横坐标为4，则|AB|等于（　　）

• A、14
• B、12
• C、10
• D、8

Answer 1

分析：由题意知，过抛物线焦点的直线L斜率存在且不等于0，由点斜式设出L的直线方程，与抛物线方程组成方程组，消去未知数y，可得关于x的一元二次方程，由根与系数的关系和线段AB中点的横坐标，得出k的值，再由线段长度公式可求|AB|的大小．

解答：解：因为抛物线y²=8x的焦点为F（2，0），设过F点的直线L为：y=k（x-2），且k≠0；
所以，由

y=k(x-2) y2=8x

  得：k²（x-2）²=8x，即k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，由根与系数的关系，
得：x₁+x₂=

4k2+8

k2

=8，x₁x₂=4；∴k²=2，∴线段AB的长为：|AB|═

1+k2

|x1-x2|
=

1+2

(x1+ x2)  2-4x1x2

=

3

×

82-4×4

=12．
故答案选：B．

点评：本题是直线被圆锥曲线所截，求弦长问题，可以由公式：|AB|═

1+k2

|x1-x2|求得；线段中点坐标通常与根与系数的关系相联系，从而简化解题过程．