Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点P（

1

2

，1），倾斜角α=

π

6

，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρ=2

2

cos（θ-

π

4

）．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：计算题,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）根据直线参数方程的一般式，即可写出，化简圆的极坐标方程，运用ρcosθ=x，ρsinθ=y，即可普通方程；
（Ⅱ）将直线的参数方程代入到圆的方程中，得到关于t的方程，运用韦达定理，以及参数t的几何意义，即可求出结果．

解答：解：（ I）直线l的参数方程为

x= 1 2 +tcos π 6 y=1+tsin π 6

（t为参数），
即

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

（t为参数）．
由ρ=2

2

cos(θ-

π

4

)得：ρ=2cosθ+2sinθ，
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，∴x²+y²=2x+2y，
故圆C的直角坐标方程为（x-1）²+（y-1）²=2．
（ II）把

x= 1 2 + 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入（x-1）²+（y-1）²=2得t2-

3

2

t-

7

4

=0，
则t1+t2=

3

2

，t1t2=-

7

4

，
∴|PA|+|PB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

31

2

．

点评：本题考查直线的参数方程、以及极坐标方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程的运用，属于中档题．