Question

8．如图，以AB为直径的圆O与以N为圆心，半径为1的圆一个交点为Q，延长AB至点P，过点P作两圆的切线，分别切于M，N两点，已知AB=4．
（1）证明：AN=PN；
（2）求QN的长．

Answer 1

分析 （1）连接ON，BM，分别求出AN，PN，即可证明：AN=PN；
（2）确定cos∠ANQ=-$\frac{1}{4}$，由余弦定理求QN的长．

解答 （1）证明：连接ON，BM，则ON⊥PN，BM⊥PN．
∵ON=2，BM=1，OB=2，
∴∠PON=PBM=60°，
∴PN=2tan60°=2$\sqrt{3}$，
同时∠AON=120°，OA=ON=2，
∴AN=2$\sqrt{3}$，
∴AN=PN；
（2）解：∵△ABQ为直角三角形，
∴AQ=$\sqrt{A{B}^{2}-B{Q}^{2}}$=$\sqrt{15}$，cos∠ABQ=$\frac{1}{4}$．
∵A，B，Q，N四点共圆，
∴cos∠ANQ=-$\frac{1}{4}$．
由余弦定理可得15=12+QN²-2×$2\sqrt{3}QN×（-\frac{1}{4}）$，
∴QN=$\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查圆中相等线段的证明，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．