Question

15．在二项式（x²-$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中，记x⁴的系数为a，则${∫}_{0}^{\frac{a}{10}}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=（　　）

• A． $\frac{π}{4}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． π

Answer 1

分析 根据二项式展开式的通项公式T_r+1求出展开式中x⁴项的系数a，再利用定积分的几何意义求出${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx的值．

解答 解：二项式（x²-$\frac{1}{x}$）⁵的展开式中，
通项公式为T_r+1=${C}_{5}^{r}$•x^2（5-r）•${（-\frac{1}{x}）}^{r}$=（-1）^r•${C}_{5}^{r}$•x^10-3r，
10-3r=4，r=2，
则x⁴项的系数是a=${C}_{5}^{2}$•（-1）²=10，
则${∫}_{0}^{\frac{a}{10}}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx
它表示的几何意义是由曲线y=$\sqrt{1{-x}^{2}}$，直线x=0，x=1所围成封闭图形的面积，
故${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1{-x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查了二项式展开式的通项公式以及定积分几何意义的应用问题，是基础题目．