Question

15．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}+2$在区间[1，4]上是单调递增函数，则实数a的最小值是（　　）

• A． -1
• B． -4
• C． $-\frac{1}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意可得f′（x）≥0在[1，4]上恒成立，即x∈[1，4]时，a≥$\frac{x}{4}$可得a的范围．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}+2$，∴f′（x）=x²+4ax，
若f（x）在[2，4]上是单调递增函数，
故有f′（x）≥0在[1，4]上恒成立，
即x+4a≥0在[1，4]上恒成立，
即a≥$\frac{x}{4}$在[1，4]上恒成立，
故a≥-$\frac{1}{4}$，
故选：C．

点评 本题主要考查函数的单调性与导数的关系，函数的恒成立问题．