Question

18．如图，二面角a-l-β为60°，A∈a，B∈β，AA′⊥l交l于A′，BB′⊥l交1于B′，若AA′=2，BB′=1，A′B′=$\sqrt{3}$．
（1）求线段AB的长；
（2）求AB与l所成的角．

Answer 1

分析 （1）在平面α内，过B′作B′C∥A′A，过A作AC∥A′B′，交B′C于点C，则四边形AA′B′C是矩形，由余弦定理得求出BC，由此能求出AB．
（2）由AC∥l，得∠BAC是AB与l所成的角，由此能求出AB与l所成的角的大小．

解答 解：（1）在平面α内，过B′作B′C∥A′A，过A作AC∥A′B′，交B′C于点C，
∵二面角a-l-β为60°，A∈a，B∈β，AA′⊥l交l于A′，
BB′⊥l交1于B′，AA′=2，BB′=1，A′B′=$\sqrt{3}$，
∴四边形AA′B′C是矩形，AC=A′B′=$\sqrt{3}$，B′C=AA′=2，∠BB′C=60°，
∴BC=$\sqrt{B{{B}^{'}}^{2}+{B}^{'}{C}^{2}-2×B{B}^{'}×{B}^{'}C×cos60°}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∵l⊥BB′，l⊥B′C，AC∥l，
∴AC⊥平面BB′C，∴∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{3+3}$=$\sqrt{6}$．
（2）∵AC∥l，∴∠BAC是AB与l所成的角，
∵$AC=BC=\sqrt{3}$，AC⊥BC，
∴∠BAC=45°，
∴AB与l所成的角为45°．

点评 本题考查两直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．