Question

6．已知函数f（x）=e^xsinx，其中x∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x）≥kx，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，结合三角函数的性质求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，通过讨论k的范围确定函数的单调性，从而求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ） f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=e^x（sinx+cosx），
令$y=sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
当$x∈（2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{3π}{4}），{f^'}（x）＞0，f（x）$单调递增，（2分）
$x∈（2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{7π}{4}），{f^'}（x）＜0，f（x）$单调递减                             （4分）
（Ⅱ） 令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx）⇒h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]，{h^'}（x）≥0⇒h（x）$在$[0，\frac{π}{2}]$上单调递增，$1≤h（x）≤{e^{\frac{π}{2}}}$，（6分）
当k≤1时，g′（x）≥0，g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上单调递增，g（x）≥g（0）=0，符合题意；
当$k≥{e^{\frac{π}{2}}}$时，g′（x）≤0⇒g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上单调递减，g（x）≤g（0）=0，与题意不合；                                            （8分）
当$1＜k＜{e^{\frac{π}{2}}}$时，g′（x）为一个单调递增的函数，而${g^'}（0）=1-k＜0，{g^'}（\frac{π}{2}）={e^{\frac{π}{2}}}-k＞0$，
由零点存在性定理，必存在一个零点x₀，使得g′（x₀）=0，
当x∈[0，x₀）时，g′（x）≤0，从而g（x）在x∈[0，x₀）上单调递减，
从而g（x）≤g（0）=0，与题意不合，
综上所述：k的取值范围为（-∞，1]（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数的零点问题，是一道中档题．