Question

13．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
（1）求不等式f（x）＞6的解集A；
（2）若关于x的表达式f（x）＞|a-1|的解集B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞6等价于$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{2-4x＞6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{4x-2＞6}\end{array}}\right.$，由此能求出不等式f（x）＞6的解集A．
（2）f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，求出f（x）的值域，从而f（x）＞|a-1|的解集B≠ϕ．由此能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|．
∴由题意得：$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{2-4x，x＜-\frac{1}{2}}\\{4，-\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}}\\{4x-2，x＞\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，
则不等式f（x）＞6等价于$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-\frac{1}{2}}\\{2-4x＞6}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞\frac{3}{2}}\\{4x-2＞6}\end{array}}\right.$，
解得：x＜-1或x＞2，
∴不等式f（x）＞6的解集A={x|x＜-1或x＞2}．
（2）∵f（x）=|2x+1|+|2x-3|≥|（2x+1）-（2x-3）|=4，
∴f（x）的值域为[4，+∞），
∴f（x）＞|a-1|的解集B≠ϕ．
要B⊆A，需|a-1|≥6，即a-1≥6或a-1≤-6，
∴a≥7或a≤-5，
∴实数a的取值范围是a≤-5或a≥7．

点评 本题考查绝对值不等式的解集的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．