Question

3．已知f（x）=sin（8x+$\frac{π}{4}}$）的周期为α，且tan（α+β）=$\frac{1}{3}$，则$\frac{1-cos2β}{sin2β}$的值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用正弦函数的周期性求得α，利用两角和的正切公式求得tanβ，再利用二倍角公式求得$\frac{1-cos2β}{sin2β}$的值．

解答 解：∵f（x）=sin（8x+$\frac{π}{4}}$）的周期为α=$\frac{2π}{8}$=$\frac{π}{4}$，∴tan（α+β）=tan（$\frac{π}{4}$+β）=$\frac{1+tanβ}{1-tanβ}$=$\frac{1}{3}$，
∴tanβ=-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1-cos2β}{sin2β}$=$\frac{{2sin}^{2}β}{2sinβcosβ}$=tanβ=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，两角和的正切公式，二倍角公式的应用，属于基础题．