Question

12．如图1，梯形AECD中，AE∥CD，点B为边AE上一点，CB⊥BA，$AB=2CD=2BC=\sqrt{2}BE=2$，把△BCE沿边BC翻折成图2，使∠EBA=45°．

（1）求证：BD⊥EC；
（2）求平面ADE与平面CDE所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中点O，连结EO，DO，在△ABE中，求解三角形可得AE=BE，进一步得到EO⊥AB．又CB⊥BA，CB⊥BE，利用线面垂直的判定可得CB⊥平面ABE，则平面ABCD⊥平面ABE，得到EO⊥平面ABCD，有BD⊥EO．结合四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，AB⊥BC，可得四边形OBCD为正方形，得BD⊥CO．再由线面垂直的判定得BD⊥平面COE，从而证得BD⊥EC；
（2）由（1）知OE，OD，OA两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz．设OA=1，求得A，B，C，D，E的坐标，然后求出平面CDE与平面ADE的一个法向量，由两个平面法向量所成角的余弦值得平面ADE与平面CDE所成锐二面角的余弦值．

解答 （1）证明：取AB中点O，连结EO，DO，
在△ABE中，$AB=2，BE=\sqrt{2}$，∠EBA=45°，
∴$A{E^2}=4+2-2×2×\sqrt{2}•cos{45°}=2$．
∴$AE=\sqrt{2}$，则AE=BE，
∴EO⊥AB．
∵CB⊥BA，CB⊥BE，
∴CB⊥平面ABE，
∴平面ABCD⊥平面ABE，
∴EO⊥平面ABCD，得BD⊥EO．
∵四边形ABCD为直角梯形，AB=2CD=2BC，
AB⊥BC，
∴四边形OBCD为正方形，得BD⊥CO．
又EO∩CO=O，∴BD⊥平面COE，
∴BD⊥EC；
（2）解：由（1）知OE，OD，OA两两互相垂直，
故建立如图所示空间直角坐标系O-xyz．
设OA=1，则A（0，1，0），B（0，-1，0），C（1，-1，0），D（1，0，0），E（0，0，1）．
设平面CDE的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CD}=0}\\{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DE}=0}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}=0}\\{{x_1}-{z_1}=0}\end{array}}\right.$，取z₁=1，得x₁=1，则$\overrightarrow{n_1}=（1，0，1）$；
设平面ADE的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，则$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{AD}=0}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-{y_2}+{z_2}=0}\\{{x_2}-{y_2}=0}\end{array}}\right.$，取z₂=1，得x₂=y₂=1，则$\overrightarrow{n_2}=（1，1，1）$．
∵$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}}}{{|{\overrightarrow{n_1}}|•|{\overrightarrow{n_2}}|}}=\frac{2}{{\sqrt{2}•\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
∴平面ADE与平面CDE所成锐二面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查直线与直线垂直的判定，考查直线与平面垂直的性质，训练了利用空间向量求二面角的平面角，考查计算能力属中档题．