Question

2．已知数列{a_n}满足a_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$（n∈N₊），b_n=a_2n+1-a_n+1．
（1）证明数列{b_n}是递增数列；
（2）若b_n＞2m-3对一切大于1的自然数n成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用作差法即可证明；
（2）根据（1）b_n≥b₁=$\frac{1}{3}$，由于b_n＞2m-3对一切大于1的自然数n成立，得到$\frac{1}{3}$＞2m-3，解得即可．

解答 证明：（1）∵b_n=a_2n+1-a_n+1，
∴b_n-1=a_2n-1-a_n，
∴b_n-b_n-1=a_2n+1-a_n+1-a_2n-1+a_n=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2n-1}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$）+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{3n+1}{2n（2n+1）（n+1）}$＞0，
∴数列{b_n}是递增数列；
（2）∵b_n=a_2n+1-a_n+1=（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$）-（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{n+2}$+…+$\frac{1}{2n-1}$+$\frac{1}{2n}$+$\frac{1}{2n+1}$，
由数列{b_n}是递增数列，
∴b_n≥b₁=$\frac{1}{3}$，
∵b_n＞2m-3对一切大于1的自然数n成立，
∴$\frac{1}{3}$＞2m-3，
∴m＜$\frac{5}{3}$，
故m的取值范围为（-∞，$\frac{5}{3}$）．

点评 本题考查了数列的函数特征以及参数取值范围，属于中档题．