Question

10．已知F是双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点，O是坐标原点，过点F做直线FA垂直x轴交双曲线的渐近线于点A，△OAF为等腰直角三角形，则E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由，△OAF为等腰直角三角形，推出a，b的关系，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可计算得到．

解答 解：F是双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点，O是坐标原点，
过点F做直线FA垂直x轴交双曲线的渐近线于点A，△OAF为等腰直角三角形，
可得，∠AOF=45°，
双曲线的渐近线方程为y=±x，
即b=a，
又c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题．