Question

7．已知函数f（x）=|e^x-1|，若存在实数x使得f（x）≤ax-1成立，则正实数a的取值范围是（　　）

• A． [1，e]
• B． [e，+∞）
• C． （0，e]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，求出当x≥0时，函数f（x）的切线方程，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
当x＞0时，f（x）=e^x-1，
当直线y=ax-1与f（x）在x＞0时相切时，设切点为A（m，e^m-1），
函数的导数f′（x）=e^x，切点处切线斜率k=e^m，
则对应的切线方程为y-（e^m-1）=e^m（x-m），
即y=（e^m-1）+e^mx-me^m=e^mx+e^m（1-m）-1，
∵y=ax-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}=a}\\{{e}^{m}（1-m）-1=-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{m}=a}\\{{e}^{m}（1-m）=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{a=e}\end{array}\right.$，
即当e=a时，直线y=ex-1与f（x）相切，此时当x≥0时，
f（x）≥ax-1恒成立，
若存在实数x使得f（x）≤ax-1成立，
则a≥e，
故选：B

点评 本题主要考查函数与方程的应用，求出当x≥0时的过（0，-1）时 的切线方程是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．