Question

已知存在正数a，b，c满足0＜

c

a

≤2，clnb≥a+clnc，则下列判断正确的是（　　）

• A．

  b

  a

  ≥

  e

• B．

  b

  a

  ≥e
• C．

  b

  a

  ≥e

  3

  2

• D．

  b

  a

  ≥e2

Answer 1

分析：依题意可求得以

b

c

≥e

a

c

，从而可得

b

a

≥

c

a

e

a

c

，令t=

a

c

（t≥

1

2

），构造函数f（t）=

1

t

e^t，通过导数可求其最小值，从而使问题解决．

解答：解：∵a，b，c为正数，clnb≥a+clnc，
∴clnb-clnc≥a，
∴cln

b

c

≥a，
∴ln

b

c

≥

a

c

，
所以

b

c

≥e

a

c

，
∴

b

a

=

c

a

•

b

c

≥

c

a

e

a

c

令t=

a

c

（t≥

1

2

），则

b

a

≥

1

t

e^t（t≥

1

2

）．
因为存在正数a，b，c满足0＜

c

a

≤2，clnb≥a+clnc，
∴

b

a

≥

1

t

e^t最小值．
记f（t）=

1

t

e^t，则f′（t）=

tet-et

t2

，
令f′（t）=0，则t=1．
所以函数f（t）在[

1

2

，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增．
∴f（t）_min=f（1）=e．
因此，

b

a

≥e．
故选B．

点评：本题考查不等关系与不等式，考查构造函数与导数的应用，考查转化思想与分析能力，属于难题．