Question

5．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1上一点与其左顶点、右焦点构成以右焦点为直角顶点的等腰三角形，则此双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 2$+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 设出左顶点为A（-a，0），右焦点为F（c，0），由条件可得|PF|=|AF|，且PF⊥x轴，可得|PF|=a+c，令x=c，代入计算可得|PF|=$\frac{{b}^{2}}{a}$，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设双曲线上一点为P，左顶点为A（-a，0），右焦点为F（c，0），
由题意可得|PF|=|AF|，且PF⊥x轴，
可得|PF|=a+c，
由x=c代入双曲线的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
可得a（a+c）=b²=c²-a²=（c-a）（c+a），
即为c=2a，可得e=$\frac{c}{a}$=2．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的概念，考查运算能力，属于基础题．