Question

13．A、B、O是抛物线E：y²=2px（p＞0）上不同三点，其中O是坐标原点，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，直线AB交x轴于C点，D是线段OC的中点，以E上一点M为圆心、以|MD|为半径的圆被y轴截得的弦长为d，下列结论正确的是（　　）

• A． d＞|OC|＞2p
• B． d＜|OC|＜2p
• C． d=|OC|=2p
• D． d＜|OC|=2p

Answer 1

分析 设直线OA的方程为y=kx（k≠1，0），可得直线OB的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x，直线方程分别与抛物线方程联立可得A，B的坐标．由直线AB的方程可得C（2p，0），D（p，0）．设M（x₀，y₀），可得d=2$\sqrt{M{D}^{2}-{x}_{0}^{2}}$，即可得出结论．

解答 解：设直线OA的方程为y=kx（k≠1，0），则直线OB的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{2p}{{k}^{2}}，\frac{2p}{k}）$，同理可得B（2pk²，-2pk）．
∴直线AB的方程为：y+2pk=$\frac{\frac{2p}{k}+2pk}{\frac{2p}{{k}^{2}}-2p{k}^{2}}$（x-2pk²），化为：y+2pk=$\frac{k}{1-{k}^{2}}$（x-2pk²），令y=0，解得x=2p，
∴C（2p，0），|OC|=2p．
D（p，0）．
设M（x₀，y₀），
则d=2$\sqrt{M{D}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=2$\sqrt{（{x}_{0}-p）^{2}+{y}_{0}^{2}-{x}_{0}^{2}}$=2p．
综上可得：d=|OC|=2p．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、直线与圆相交弦长问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．