Question

1．已知y²=8x的焦点为F，则过F点且倾斜角为60°的直线被抛物线截得的弦长为（　　）

• A． 8
• B． $4\sqrt{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{32}{3}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点为F（2，0），直线的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$，从而得到直线的方程．直线方程与抛物线方程联解消去y得3x²-20x+12=0，利用根与系数的关系可得x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，再根据抛物线的定义加以计算，即可得到直线被抛物线截得的弦长．

解答 解：∵抛物线方程为y²=8x，2p=8，$\frac{p}{2}$=2，∴抛物线的焦点是F（2，0）．
∵直线的倾斜角为60°，∴直线斜率为k=tan60°=$\sqrt{3}$
可得直线方程为：y=$\sqrt{3}$（x-2），
设直线交抛物线于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联解，消去y得3x²-20x+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{20}{3}$，
根据抛物线的定义，可得|AF|=x₁+$\frac{p}{2}$=x₁+2，|BF|=x₂+$\frac{p}{2}$=x₂+2，
∴|AB|=x₁+x₂+4=$\frac{32}{3}$，即直线被抛物线截得的弦长为$\frac{32}{3}$．
故选：D．

点评 本题给出经过抛物线的焦点的直线倾斜角为60°，求直线被抛物线截得的弦长．着重考查了抛物线的定义与标准方程、一元二次方程根与系数的关系、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．