Question

17．已知a为实数，若函数f（x）=|x²+ax+2|-x²在区间（-∞，-1）和（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为[-8，0）．

Answer 1

分析 将函数表示为分段函数形式，结合一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．

解答 解：f（x）=|x²+ax+2|-x²=$\left\{\begin{array}{l}{ax+2，}&{{x}^{2}+ax+2≥0}\\{-2{x}^{2}-ax-2，}&{{x}^{2}+ax+2＜0}\end{array}\right.$，
设x²+ax+2=0的两个根分别为x₁，x₂，（x₁＜x₂），
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax+2，}&{x≥{x}_{2}或x≤{x}_{1}}\\{-2{x}^{2}-ax-2，}&{{x}_{1}＜x＜{x}_{2}}\end{array}\right.$，
∵当x≥x₂时，函数f（x）=ax+2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，
∴a＜0，
当x₁＜x＜x₂时，抛物线的对称轴为x=-$\frac{-a}{2×（-2）}$=-$\frac{a}{4}$．
若函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，则-$\frac{a}{4}$≤2，得-8≤a＜0．
若f（x）在区间（-∞，-1）递减，
则x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}-8}}{2}$≥-1，
即-a-$\sqrt{{a}^{2}-8}$≥-2，
则$\sqrt{{a}^{2}-8}$≥a-2，
∵-8≤a＜0，
∴$\sqrt{{a}^{2}-8}$≥a-2恒成立，
综上-8≤a＜0，
故答案为：[-8，0）

点评 本题主要考查函数单调性的应用，利用分段函数的不等式结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．