Question

9．已知函数$f（x）=\frac{1}{2}sin2xsinφ+{cos^2}xcosφ-\frac{1}{2}sin（\frac{π}{2}+φ）（0＜φ＜π）$，其图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$）．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上个点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）若A是锐角△ABC的最小内角，求g（A）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用f（x）的图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），求得φ的值．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（A）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（A）的值域．

解答 解：（Ⅰ）∵函数$f（x）=\frac{1}{2}sin2xsinφ+{cos^2}xcosφ-\frac{1}{2}sin（\frac{π}{2}+φ）（0＜φ＜π）$ 的其图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinφ+$\frac{3}{4}$cosφ-$\frac{1}{2}$cosφ=$\frac{1}{2}$，即 $\frac{1}{2}$sin（φ+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，∴sin（φ+$\frac{π}{6}$）=1，∴φ=$\frac{π}{3}$，f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}•\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（Ⅱ）将函数y=f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$） 的图象上个点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，
得到函数y=g（x）=$\frac{1}{2}$sin（4x+$\frac{π}{6}$） 的图象，
若A是锐角△ABC的最小内角，则A∈∈（ 0，$\frac{π}{3}$），∴4A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{3π}{2}$），∴sin（4A+$\frac{π}{6}$）∈（-1，1]，
∴g（A）∈（-4，4]，即g（A）的值域为（-4，4]．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．