Question

10．在数列{a_n}中，${a_1}=\sqrt{2}$，且对任意n∈N^*，都有${a_{n+1}}=\sqrt{\frac{a_n^2+2}{3}}$．
（1）计算a₂，a₃，a₄，由此推测{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明；
（2）若${b_n}={（{-2}）^n}（{{a_n}^4-{a_n}^2}）（{n∈{N^*}}）$，求无穷数列{b_n}的各项之和与最大项．

Answer 1

分析 （1）由${a_1}=\sqrt{2}$，且对任意n∈N^*，都有${a_{n+1}}=\sqrt{\frac{a_n^2+2}{3}}$．可得a₂=$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}）^{2}+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$，a₃=$\sqrt{\frac{10}{9}}$，a₄=$\sqrt{\frac{28}{27}}$．由此推测{a_n}的通项公式，a_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}$．再利用数学归纳法证明即可得出．
（2）${b_n}={（{-2}）^n}（{{a_n}^4-{a_n}^2}）（{n∈{N^*}}）$，可得b_n=$3（\frac{-2}{3}）^{n}$+9$（\frac{-2}{9}）^{n}$，利用等比数列的前n项和公式可得：无穷数列{b_n}的各项之和T_n．

解答 解：（1）∵${a_1}=\sqrt{2}$，且对任意n∈N^*，都有${a_{n+1}}=\sqrt{\frac{a_n^2+2}{3}}$．
∴a₂=$\sqrt{\frac{（\sqrt{2}）^{2}+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{4}{3}}$，a₃=$\sqrt{\frac{\frac{4}{3}+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{10}{9}}$，a₄=$\sqrt{\frac{\frac{10}{9}+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{28}{27}}$．
由此推测{a_n}的通项公式，a_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}$．
下面利用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{0}}}$=$\sqrt{2}$成立；
②假设当n=k∈N^*时，a_k=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{k-1}}}$．
则n=k+1时，a_k+1=$\sqrt{\frac{{a}_{k}^{2}+2}{3}}$=$\sqrt{\frac{1+\frac{1}{{3}^{k-1}}+2}{3}}$=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{k+1-1}}}$，
因此当n=k+1时也成立，
综上：?n∈N^*，a_n=$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{n-1}}}$成立．
（2）${b_n}={（{-2}）^n}（{{a_n}^4-{a_n}^2}）（{n∈{N^*}}）$，
∴b_n=（-2）ⁿ$（1+\frac{1}{{3}^{n-1}}）×\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$3（\frac{-2}{3}）^{n}$+9$（\frac{-2}{9}）^{n}$，
∴无穷数列{b_n}的各项之和T_n=$3×\frac{-\frac{2}{3}[1-（-\frac{2}{3}）^{n}]}{1-（-\frac{2}{3}）}$+$9×\frac{-\frac{2}{9}[1-（-\frac{2}{9}）^{n}]}{1-（-\frac{2}{9}）}$=$-\frac{6}{5}$$[1-（-\frac{2}{3}）^{n}]$-$\frac{18}{11}$$[1-（-\frac{2}{9}）^{n}]$=$\frac{18}{11}（-\frac{2}{9}）^{n}$+$\frac{6}{5}（-\frac{2}{3}）^{n}$-$\frac{156}{55}$．
当n=2k（k∈N^*）时，T_n=$\frac{18}{11}（\frac{2}{9}）^{2k}$+$\frac{6}{5}（\frac{2}{3}）^{2k}$-$\frac{156}{55}$，T_n单调递减，因此当n=2时，取得最大值T₂=$-\frac{20}{9}$．
当n=2k-1（k∈N^*）时，T_n=$-\frac{18}{11}$×$（\frac{2}{9}）^{n}$-$\frac{6}{5}×（\frac{2}{3}）^{n}$-$\frac{156}{55}$，T_n单调递增，且T_n＜0．
综上可得：T_n的最大项为T₂=$-\frac{20}{9}$．

点评 本题考查了数列的通项公式、数学归纳法、猜想能力、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．