Question

20．已知直线l交抛物线y²=4x于A，B两点，且（$\frac{7}{2}$，1）为线段AB的中点，则|AB|=$\sqrt{65}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入作差可得直线AB的斜率，从而可得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用弦长公式，即可得出结论．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据中点坐标公式，可得x₁+x₂=7，y₁+y₂=2，
∵y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
∴作差可得y₁²-y₂²=4x₁-4x₂，
∴直线AB的斜率为2，
∴直线AB的方程为y-1=2（x-$\frac{7}{2}$），即y=2x-6，
代入y²=4x，可得x²-7x+9=0，∴x₁x₂=9，
∴|AB|=$\sqrt{1+4}•$|x₁-x₂|=$\sqrt{5}•\sqrt{49-36}$=$\sqrt{65}$．
故答案为：$\sqrt{65}$．

点评 本题给出抛物线的弦AB的中点坐标，求|AB|，着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．