Question

15．已知函数f（x）=e^x-x-2（e为自然对数的底数）．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若k为正整数，且当x＞0时，$\frac{1}{f'（x）}+1＞\frac{k}{x+1}$，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，切点坐标，即可求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若k为正整数，且当x＞0时，$\frac{1}{f'（x）}+1＞\frac{k}{x+1}$，k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x+1，求出右边最小值的范围，即可求k的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-x-2，
∴f′（x）=e^x-1，
∴f′（0）=e⁰-1=0，
∵f（0）=-1，
∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-1；
（2）∵当x＞0时，$\frac{1}{f'（x）}+1＞\frac{k}{x+1}$，
∴k＜$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x+1，
令g（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}-1}$+x+1，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{e}^{x}-x-2）}{（{e}^{x}-1）^{2}}$．
∵f（x）=e^x-x-2，∴f′（x）=e^x-1
∴当x＞0时，f′（x）=e^x-1＞0
∴函数f（x）单调递增，
∴f（x）＞f（0）=-1，
∴存在x₀∈（1，2），使得${e}^{{x}_{0}}$-x₀-2=0，g（x）在（0，x₀）上单调递减，（x₀，+∞）上单调递增，
∴g（x）_min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}+1}{{e}^{{x}_{0}}-1}$+x₀+1=x₀+2∈（3，4），
∴k为正整数，∴k的最大值是3．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何运用，考查恒成立问题，正确运用导数是关键．