Question

设f（x）=

1

3

ax³+x恰有三个单调区间，确定a的取值范围，求其单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：由题意求导f′（x）=ax²+1，则f（x）=

1

3

ax³+x恰有三个单调区间可化为ax²+1=0有两个不同的根，从而求a的取值范围，进一步求其单调区间．

解答： 解：由题意，f′（x）=ax²+1；
∵f（x）=

1

3

ax³+x恰有三个单调区间，
∴ax²+1=0有两个不同的根，
∴a＜0；
ax²+1=0的两个根为x=±

-a

a

；
故其单调增区间为（

-a

a

，-

-a

a

）；
单调减区间为（-∞，

-a

a

），（-

-a

a

，+∞）．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．