Question

3．已知函数f（x）=|x+2|-|2x-2|
（1）解不等式f（x）≥-2；
（2）设g（x）=x-a，对任意x∈[a，+∞）都有g（x）≥f（x），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）≥-2，通过当x≤-2时，当-2＜x＜1时，当x≥1时，去掉绝对值分别求解即可．
（2）画出$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x-4，x≤-2}\\{3x，-2＜x＜1}\\{-x+4，x≥1}\end{array}}\right.$的图象，通过对a≤-2，a＞-2，判断求解即可．

解答 解：（1）f（x）≥-2，
当x≤-2时，x-4≥-2，即x≥2，∴x∈∅；
当-2＜x＜1时，3x≥-2，即$x≥-\frac{2}{3}$，∴$-\frac{2}{3}≤x＜1$
当x≥1时，-x+4≥-2，即x≤6，∴1≤x≤6

综上，{x|$-\frac{2}{3}≤x＜6$}                …（5分）
（2）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x-4，x≤-2}\\{3x，-2＜x＜1}\\{-x+4，x≥1}\end{array}}\right.$
函数f（x）的图象如图所示：
∵g（x）=x-a，-a表示直线的纵截距，当直线过（1，3）点时，-a=2；
∴当-a≥2，即a≤-2时成立；                                  …（8分）
当-a＜2，即a＞-2时，令-x+4=x-a，得$x=2+\frac{a}{2}$，
∴a≥2+$\frac{a}{2}$，即a≥4时成立，综上a≤-2或a≥4．         …（10分）

点评 本题考查函数的综合应用，函数的图象以及分段函数，绝对值表达式的解法，考查分类讨论数形结合思想的应用，考查计算能力．