Question

14．已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=10，且a₂，a₄，a₈成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{（n+2）{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式，求和公式列方程组求出{a_n}的首项和公差，得出a_n；
（2）使用裂项法求出T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
则S₁₀=4a₁+6d，
∵a₂，a₄，a₈成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=10}\\{（{a}_{1}+3d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+7d）}\end{array}\right.$，
解得：d=1或d=0（舍去），∴a₁=1，
∴a_n=n．
（2）b_n=$\frac{1}{（n+2）{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$），
则T_n═$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$$-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，裂项法数列列求和，属于中档题．