Question

16．如图，四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=$\frac{π}{2}$，AB=BC=1，CD=2，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点．
（1）求证：AE∥平面PBC；
（2）若直线AE与直线BC所成角等于$\frac{π}{3}$，求二面角D-PB-A平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC中点F，连结EF、BF，推导出四边形ABFE为平行四边形，从而AE∥BF，由此能证明AE∥平面PBC．
（2）AE与直线BC所成角为$\frac{π}{3}$，延长BA一倍到H，连结DH，再作HG⊥BP，连结DG，∠DGH是二面角D-PB-A的平面角，由此能求出二面角D-PB-A平面角的余弦值．

解答 证明：（1）取PC中点F，连结EF、BF，
∴△PCD中，EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，AB$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}CD$，
∴EF$\underset{∥}{=}$AB，
∴四边形ABFE为平行四边形，
∵AE∥BF，AE?平面PBC，BF?平面PBC，
∴AE∥平面PBC．
解：（2）AE与直线BC所成角为$\frac{π}{3}$，$∠FBC=\frac{π}{3}$，
∴BP=$\sqrt{3}$，∴PA=$\sqrt{2}$，
延长BA一倍到H，连结DH，再作HG⊥BP，连结DG，
则∠DGH是二面角D-PB-A的平面角，
DH=1，FG×$\sqrt{3}=2×\sqrt{2}$，HG=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$，
∴tan∠DGH=$\frac{DH}{HG}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴cos∠DGH=$\frac{2\sqrt{22}}{11}$$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
∴二面角D-PB-A平面角的余弦值为$\frac{2\sqrt{22}}{11}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．