Question

将一张长为9厘米，宽为4

2

厘米的长方形纸片ABCD的一只直角斜折，使D点总是落在对边AB上，然后展开这些折痕l．这样继续下去，得到若干折痕．
（1）请说明这些折痕围成的轮廓，它们形成何种曲线？建立适当的平面直角坐标系，写出该曲线的方程；
（2）记折痕l与边CD的夹角为θ，求出l与θ之间的函数关系式；
（3）求折痕l的最小值．

Answer 1

分析：（1）以边AD所在的直线为y轴，以边AD为垂直平分线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系．则可求A，B，C，D的坐标，在折痕上取一点M，且MD′⊥AB，则可得，MD′=MD，即折痕围上的任意一点到直线y=2

2

的距离与到点D（0，2

2

）的距离相等，围成的轮廓为抛物线的一部分，曲线对应的曲线可求     
（2）由题意可得4

2

=lsinθ+lsinθcos2θ，则l=

4 2

sinθ+sinθcos2θ

．当l过点C时，θ最小，而θ≤

π

4

，从而可求sinθ得范围          
（3）由l=

4 2

sinθ+sinθcos2θ

=

2 2

sinθ-sin3θ

，令t=sinθ，则l=f(t)=

2 2

t-t3

，t∈[

1

3

，

2

2

]，利用导数可求函数的最小值

解答：解：（1）以边AD所在的直线为y轴，以边AD的垂直平分线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系
．则（0，2

2

），B（9，2

2

），C（9，-2

2

），D（0，-2

2

）
连接DD′，则l是DD′的垂直平分线．
∴在折痕上取一点M，且MD′⊥AB，则可得，MD′=MD，即折痕围上的任意一点到直线y=2

2

的距离与到点D（0，2

2

）的距离相等，围成的轮廓为开口向下的抛物线的一部分，焦点为（0，-2

2

）
曲线对应的曲线的方程为x2=-8

2

y（0≤x≤4

2

）．        …（4分）
（2）因为4

2

=lsinθ+lsinθcos2θ，所以l=

4 2

sinθ+sinθcos2θ

．
当l过点C时，θ最小，可得此时sinθ=

1

3

，
又因为θ≤

π

4

，所以sinθ∈[

1

3

，

2

2

]．            …（8分）
（3）l=

4 2

sinθ+sinθcos2θ

=

2 2

sinθ-sin3θ

，
令t=sinθ，则l=f(t)=

2 2

t-t3

，t∈[

1

3

，

2

2

]，f′(t)=

-2 2 (1-3t2)

(t-t3)2

，令f′（t）=0，t=

3

3

∈[

1

3

，

2

2

]．
当t∈[

1

3

，

3

3

)时，f′（t）＜0，所以f（t）在[

1

3

，

3

3

)上递减；
当t∈(

3

3

，

2

2

)时，f′（t）＞0，所以f（t）在(

3

3

，

2

2

)上递增；
所以f（t）_min=f(

3

3

)=

6

．                   …（16分）

点评：本题主要考查了点的轨迹方程的求解，三角函数性质的应用及利用函数的导数求解函数的单调区间，及函数的最值，属于函数知识的综合应用