题目内容

5．一个化肥厂生产甲种混合肥料1车皮、乙种混合肥料1车皮所需要的主要原料如表：
原料
种类		磷酸盐（单位：吨）硝酸盐（单位：吨）
甲420
乙220
现库存磷酸盐8吨、硝酸盐60吨，计划在此基础上生产若干车皮的甲、乙两种混合肥料．
（Ⅰ）设x，y分别表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数，试列出x，y满足的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）若生产1车皮甲种肥料，利润为3万元；生产1车皮乙种肥料，利润为2万元．那么分别生产甲、乙两种肥料多少车皮，能够产生最大利润？最大利润是多少？

分析 （Ⅰ）由题意可得4x+2y≤8，20x+20y≤60，且x，y≥0，运用直线的画法，结合二元一次不等式的区域，即可得到；
（Ⅱ）设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，能够产生利润z万元．则目标函数为z=3x+2y，将z=3x+2y变形为$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}z$，可得z的几何意义为y轴上的截距的2倍，运用平移法，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由题意，x，y满足的数学关系式为：
$\left\{\begin{array}{l}4x+2y≤8\\ 20x+20y≤60\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2x+y≤4\\ x+y≤3\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$．        
在直角坐标系中可表示成如图所示的平面区域（阴影部分）．
（Ⅱ）设生产甲种肥料x车皮，乙种肥料y车皮，
能够产生利润z万元．则目标函数为z=3x+2y，
可行域如图所示：
将z=3x+2y变形为$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}z$，
由图可知当直线$y=-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}z$经过可行域上的点M时，截距$\frac{1}{2}z$最大．       
解方程组$\left\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ x+y=3\end{array}\right.$，
解的点M的坐标为：x=1，y=2． ）
所以zmax=3x+2y=3×1+2×2=7．
答：生产甲种肥料1车皮、乙种肥料2车皮，
能够产生最大利润，最大利润是7万元．

点评 本题考查线性规划在实际问题的运用，考查目标函数在线性约束条件下的最值求法，注意运用数形结合的思想方法，考查运算能力和作图能力，属于中档题．

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