Question

3．已知在（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{2\root{3}{x}}$）ⁿ的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n；
（2）求含x²项的系数；
（3）求展开式中有理项为第几项．

Answer 1

分析 （1）写出通项公式，根据第6项为常数项，则指数为0，解得即可，
（2）含x²项得r=$\frac{1}{2}$（n-6）=2，即可求出答案，
（3）令$\frac{10-2r}{3}$=k，（k∈Z），则10-2r=3k，即r=5-$\frac{3}{2}$k，解得即可

解答 解：（1）通项公式为T_r+1=C_n^r（-$\frac{1}{2}$）^r${x}^{\frac{n-2r}{3}}$，
∵第6项为常数项，
∴r=5时，有$\frac{n-2r}{3}$=0，即n=10，
（2）含x²项得r=$\frac{1}{2}$（n-6）=2，
∴所求的系数为C₁₀²（-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{45}{4}$，
（3）根据通项公式，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10-2x}{3}∈Z}\\{0≤x≤10}\\{x∈N}\end{array}\right.$，
令$\frac{10-2r}{3}$=k，（k∈Z），则10-2r=3k，即r=5-$\frac{3}{2}$k，
∵r∈N，
∴k应为偶数，
∴k可取2，0，-2，即r可取2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项．

点评 本题考查了二项式系数以及展开式定理，掌握通项公式是关键，属于中档题．