题目内容

4．已知扇形的周长为20cm，当扇形的中心角为2弧度时，它有最大面积，最大面积是25cm2．

分析 设出弧长和半径，由周长得到弧长和半径的关系，再把弧长和半径的关系代入扇形的面积公式，转化为关于半径的二次函数，配方求出面积的最大值．

解答 解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20，
即l=20-2r（0＜r＜10）①，
扇形的面积S=$\frac{1}{2}$lr，将①代入，
得：S=$\frac{1}{2}$（20-2r）r=-r2+10r=-（r-5）2+25，
所以当且仅当r=5时，S有最大值25．
此时l=20-2×5=10，α=$\frac{l}{r}$=2．
所以当α=2rad时，扇形的面积取最大值25．
故答案为：2，25．

点评 本题考查角的弧度数与度数间的转化，扇形的弧长公式和面积公式的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．

练习册系列答案
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18．已知f（x）=$\sqrt{2}$asin（x+$\frac{π}{4}$）+1-a（x∈R）．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，恒有|f（x）|≤2，求实数a的取值范围；
（2）若f（x）=0在[0，$\frac{3π}{4}$]上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
15．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若x2f′（x）+xf（x）=sinx（x∈（0，6），f（π）=2，则下列结论正确的是（　　）
A．xf（x）在（0，6）单调递减B．xf（x）在（0，6）单调递增
C．xf（x）在（0，6）上有极小值2πD．xf（x）在（0，6）上有极大值2π
12．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=2，AF=BF，EC∥FD，FD⊥底面ABCD，M是AB的中点．
（1）求证：平面CFM⊥平面BDF；
（2）若EC=2，FD=3，求平面ADF与平面BEF所成角的正弦值．
19．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线图是一个几何体的三视图，则此几何体外接球的表面积为（　　）
A．25πB．25$\sqrt{2}$πC．50πD．50$\sqrt{2}$π
9．设函数f（x）=lnx+ax，若存在x0∈（0，+∞），使f（x0）＞0，则a的取值范围是（　　）
A．（-$\frac{1}{e}$，1）B．（-∞，$\frac{1}{e}$）C．（-1，+∞）D．（-$\frac{1}{e}$，+∞）
16．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x2-2ax+lnx（a∈R），x∈（1，+∞）．
（1）若函数f（x）有且只有一个极值点，求实数a的取值范围；
（2）对于函数f（x）、f1（x）、f2（x），若对于区间D上的任意一个x，都有f1（x）＜f（x）＜f2（x），则称函数f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间D上的一个“分界函数”．已知f1（x）=（1-a2）lnx，f2（x）=（1-a）x2，问是否存在实数a，使得f（x）是函数f1（x）、f2（x）在区间（1，+∞）上的一个“分界函数”？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，说明理由．
13．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow a$，$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow b$，则$\overrightarrow{AF}$=（　　）
A．$\frac{1}{4}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow b$B．$\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow b$C．$\frac{2}{3}$$\overrightarrow a$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow b$D．$\frac{1}{2}$$\overrightarrow a$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow b$
14．${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x-{x}^{2}}$•dx=$\frac{π}{8}$．

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