Question

5．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥AC，且A₁B=AC=5，AA₁=BC=13，且AB=12．
（1）求证：AA₁⊥AC；
（2）求点B到面ACC₁A₁的距离．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理证明AC⊥平面ABB₁A₁即可，
（2）根据体积法建立方程关系进行求解．

解答 （1）证明：在△ABC中，∵AB²+AC²=BC²，∴AC⊥AB，…（2分）
又∵A₁B⊥AC且A₁B、AC是面ABB₁A₁内的两条相交直线，
∴AC⊥平面ABB₁A₁，
又AA₁?平面ABB₁A₁，∴AA₁⊥AC；…（4分）
（2）在△ABC中，∵${A_1}{B^2}+A{B^2}=A{A_1}^2$，
∴A₁B⊥AB，又∵A₁B⊥AC且AB、AC是面ABC内的两条相交直线，
∴A₁B⊥面ABC，…（8分）
由（1）知，AA₁⊥AC，
∴${s_{△{A_1}AC}}=\frac{1}{2}×5×13$，
∵${s_{△ABC}}=\frac{1}{2}×5×12$，
设点B到面ACC₁A₁的距离为h，
由${V_{B-{A_1}AC}}={V_{{A_1}-ABC}}$得，$\frac{1}{3}（\frac{1}{2}×5×12）×5=\frac{1}{3}（\frac{1}{2}×5×13）×h$，
解得$h=\frac{60}{13}$，
∴点B到面ACC₁A₁的距离为$\frac{60}{13}$…（12分）

点评 本题主要考查空间直线垂直的判定以及点到平面的距离的求解，利用体积法是解决本题的关键．