题目内容

设α∈(0，)，函数f(x)的定义域为［0，1］，且f(0)＝0，f(1)＝1，当x≥y时，：求

(1)

及的值

(2)

函数g(x)＝sin(－2x)的单调递增区间

(3)

n∈N时，an＝，求f(an)，并猜测x∈[0，1]时，f(x)的表达式．

答案：
解析：

(1)

f()＝f()＝f(1)sinα＋(1－sinα)f(0)＝sinα，

f()＝f()＝f()sinα＋(1－sinα)f(0)＝sin2α，

f()＝f()＝f(1)sinα＋(1－sinα)f()＝2sinα－sin2α，

f()＝f()＝f()sinα＋(1－sinα)f()＝3sin2α－sin3α，

∴sinα＝(3－2sinα)sin2α∴sinα＝0或sinα＝1或sinα＝

∵α∈(0，)，∴α＝，因此，f()＝，f()＝．

(2)

g(x)＝sin(－2x)＝sin(2x＋，

∴g(x)的增区间为［kπ－，kπ－］(k∈Z)．

(3)

∵n∈N，an＝，

所以f(an)＝f()＝f(，

因此f(an)是首项为f(a1)＝，公比为的等比数列，故f(an)＝f()＝，猜f(x)＝x．


练习册系列答案
相关题目
设φ∈(0，
π
4
)，函数f（x）=sin2（x+φ），且f(
π
4
)=
3
4
．
（Ⅰ）求φ的值；
（Ⅱ）若x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最大值及相应的x值．
设α∈(0，
π
2
)，函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，有f(
x+y
2
)=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），则α=
 
，f(
1
2
)=
 
．
设0≤x≤
π2
，函数y=cos2x+2msinx的最大值是g（m），求函数g（m）的最小值．
设α∈(0，
π
2
)，函数f（x）的定义域为[0，1]且f（0）=0，f（1）=1当x≥y时有f（
x+y
2
）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）求f（
1
2
），f（
1
4
）；
（2）求α的值；
（3）求函数g（x）=sin（α-2x）的单调区间．
已知向量
m
=（cosx，1-asinx），
n
=（cosx，2），设f（x）=
m
•
n
，且函数f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求函数g（a）的解析式．
（Ⅱ）设0≤θ≤2π，求函数（2cosθ+1）的最大值和最小值以及对应的值．

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