题目内容
17．已知数列{an}满足${a_1}=1，|{{a_n}-{a_{n-1}}}|=\frac{1}{2^n}（{n≥2，n∈N}）$，且{a2n-1}是递减数列，{a2n}是递增数列，则5-6a10=$\frac{1}{512}$．分析 由于{a2n-1}是递减数列，因此a2n+1-a2n-1＜0，于是（a2n+1-a2n）+（a2n-a2n-1）＜0；由于$\frac{1}{{{2^{2n+1}}}}＜\frac{1}{{{2^{2n}}}}$，可得|a2n+1-a2n|＜|a2n-a2n-1|．可知a2n+2-a2n＜0．可得a2n+1-a2n＞0．利用a10=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a10-a9），即可得出．
解答 解：由于{a2n-1}是递减数列，因此a2n+1-a2n-1＜0，于是（a2n+1-a2n）+（a2n-a2n-1）＜0 ①．
因为$\frac{1}{{{2^{2n+1}}}}＜\frac{1}{{{2^{2n}}}}$，所以|a2n+1-a2n|＜|a2n-a2n-1|②．
由①②知a2n-a2n-1＜0．因为{a2n}是递增数列，
所以a2n+2-a2n＞0，a2n+2-a2n+1+a2n+1-a2n＞0，|a2n+2-a2n+1|＜|a2n+1-a2n|，所以a2n+1-a2n＞0．
于是a10=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（a10-a9）=1-$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}$-…$（-\frac{1}{2}）^{9}$=1+$\frac{-\frac{1}{4}[1-（-\frac{1}{2}）^{9}]}{1-（-\frac{1}{2}）}$=$\frac{1}{6}（5-\frac{1}{{2}^{9}}）$．
所以5-6a10=$\frac{1}{{2}^{9}}$=$\frac{1}{512}$．
故答案为：$\frac{1}{512}$．
点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
| A． | a＜b＜c | B． | b＜c＜a | C． | c＜b＜a | D． | c＜a＜b |
| A． | -2 | B． | $-\frac{3}{2}$ | C． | 1 | D． | 3 |
| A． | {-1，0，1，2} | B． | {-1，0，1} | C． | {-2，-1，0，1} | D． | {-2，-1，0，1，2} |
表1：男生身高频数分布表
| 身高（cm） | [160，165） | [165，170） | [170，175） | [175，180） | [180，185） | [185，190） |
| 频数 | 2 | 5 | 14 | 13 | 4 | 2 |
| 身高（cm） | [150，155） | [155，160） | [160，165） | [165，170） | [170，175） | [175，180） |
| 频数 | 1 | 7 | 12 | 6 | 3 | 1 |
（2）估计该校学生身高在[165，180）的概率；
（3）以样本频率为概率，现从高一年级的男生和女生中分别选出1人，设X表示身高在[165，180）学生的人数，求X的分布列及数学期望．