Question

14．函数f（x）=4^x-a•2^x+1（-1≤x≤2）的最小值为g（a）．
（Ⅰ） 当a=2 时，求g（a）；
（Ⅱ） 求f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 当a=2 时，f（x）=4^x-2^x+2，令t=2^x（-1≤x≤2），则$\frac{1}{2}$≤t≤4，y=f（x）=t²-4t，进而可得答案；
（Ⅱ）令t=2^x（-1≤x≤2），则$\frac{1}{2}$≤t≤4，结合二次函数的图象和性质分类讨论，可得f（x）的最小值g（a）的解析式．

解答 解：（Ⅰ） 当a=2 时，f（x）=4^x-2^x+2，
令t=2^x（-1≤x≤2），则$\frac{1}{2}$≤t≤4，
y=f（x）=t²-4t，
当t=2，即x=1时，函数f（x）的最小值g（a）=-4．
（Ⅱ）令t=2^x（-1≤x≤2），则$\frac{1}{2}$≤t≤4，
y=f（x）=t²-2at，其图象关于直线t=a对称，
若a＜$\frac{1}{2}$，则，函数f（x）的最小值g（a）=$-a+\frac{1}{4}$
若$\frac{1}{2}$≤a≤4，则，函数f（x）的最小值g（a）=-a²
若a＞4，则，函数f（x）的最小值g（a）=-8a+16，
综上可得：g（a）=$\left\{\begin{array}{l}-a+\frac{1}{4}，a＜\frac{1}{2}\\-{a}^{2}，\frac{1}{2}≤a≤4\\-8a+16，a＞4\end{array}\right.$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．