Question

已知x≥3，则y=x-

1

1-x

的最小值为（　　）

• A、2
• B、

  7

  2

• C、2

  2

• D、3

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先将函数化成对钩函数的形式，再确定函数的单调性，利用函数的单调性求函数最值．也可以利用导数确定函数的单调性．

解答：解：法一  y=x-

1

1-x

=(x-1)+

1

x-1

+1，由对钩函数y=x+

1

x

在区间[1，+∞）上单调递增可知，当x≥3时，(x-1)+

1

x-1

≥2+

1

2

=

5

2

，
∴y=x-

1

1-x

≥

7

2

，
∴当x=3时，y=x-

1

1-x

取得最小值

7

2

，
故选B．
 法二   利用导数确定函数的单调性．
 y′=1-

1

(x-1)2

=

x(x-2)

(x-1)2

，当x≥3时，y′＞0，∴y=x-

1

1-x

在区间[3，+∞）上单调递增，∴当x=3时，y=x-

1

1-x

取得最小值

7

2

，
故选B．

点评：本题考查了利用函数的单调性求函数最值的方法，确定函数的单调性可以用一些特殊函数（对钩函数）的单调性，也可以利用导数．