Question

5．已知函数f（x）=lg（$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$）．
（1）判断f（x）的单调性，并说明理由．
（2）求f（x）的反函数f^-1（x）．
（3）解f（1og₄x²）＞-lg（$\sqrt{2}$+1）．

Answer 1

分析 （1）化简函数f（x），根据基本初等函数的单调性即可判断f（x）在其定义域上的单调性；
（2）根据反函数的定义求出f（x）的反函数即可；
（3）根据题意把不等式化为f（1og₄x²）＞f（1），利用函数的单调性求出不等式的解集即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=lg（$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$）=lg$\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$，
∴f（x）是定义域[0，+∞）上的单调减函数；
（2）令y=f（x）=lg（$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$），
∴10^y=$\sqrt{x+1}$-$\sqrt{x}$，
两边平方，得10^2y=（2x+1）-2$\sqrt{x（x+1）}$，
化简得2$\sqrt{x（x+1）}$=（2x+1）-10^2y，
两边再平方得4x（x+1）=（2x+1）²-2（2x+1）•10^2y+10^4y，
化简得2（2x+1）•10^2y=1+10^4y，
解得x=$\frac{{10}^{4y}-2{×10}^{2y}+1}{4{×10}^{2y}}$，
∴函数f（x）的反函数是f^-1（x）=$\frac{{10}^{4x}-2{×10}^{2x}+1}{4{×10}^{2x}}$，x≥0；
（3）∵-lg（$\sqrt{2}$+1）=lg$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=lg（$\sqrt{2}$-1）=f（1），
∴不等式f（1og₄x²）＞-lg（$\sqrt{2}$+1）可化为
f（1og₄x²）＞f（1）；
又f（x）在定义域[0，+∞）上是单调减函数，
∴0≤log₄x²＜1，
即1≤x²＜4，
解得-2＜x≤-1或1≤x＜2，
∴该不等式的解集为（-2，-1]∪[1，2）．

点评 本题考查了基本初等函数的单调性与利用函数的单调性解不等式的应用问题，也考查了反函数的应用问题，考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．