Question

（2014•资阳二模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+y²-4x+2=0有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是

（1，

2

]

．

Answer 1

分析：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+y²-4x+2=0有交点?圆心（2，0）到渐近线的距离≥半径r．解出即可．

解答：解：由圆x²+y²-4x+2=0化为（x-2）²+y²=2，得到圆心（2，0），半径r=

2

．
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线y=±

b

a

x与圆x²+y²-4x+2=0有交点，
∴

|2b|

a2+b2

≤

2

，化为b²≤a²．
∴1＜e=

c

a

=

1+ b2 a2

≤

2

．
∴该双曲线的离心率的取值范围是(1，

2

]．
故答案为(1，

2

]．

点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、离心率的计算公式、圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式是解题的关键