Question

15．已知函数y=f（x）的导函数为f'（x）=cosx-5，且f（0）=0，如果f（1-ax）+f（1-ax²）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（-8，0]．

Answer 1

分析 由题意函数的导函数f'（x）=cosx-5＜0恒成立，故函数是减函数，再由函数是奇函数将不等式f（1-ax）+f（1-ax²）＜0转化为f（1-ax）＜f（ax²-1），由单调性及定义转化为不等式，再分类讨论即可求出a的取值范围

解答 解：∵-1≤cosx≤1，
∴f'（x）=cosx-5＜0，
∴函数f（x）在R上单调递减，
∵f′（x）=cosx-5为偶函数及f（0）=0可得f（x）为奇函数
由f（1-ax）+f（1-ax²）＜0可得，f（1-ax）＜-f（1-ax²）=f（ax²-1）
即1-ax＞ax²-1
∴a（x²+x）＜2，
当x＜-1或x＞0时，x²+x＞0，则a＜$\frac{2}{{x}^{2}+x}$=$\frac{2}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$
∵$\frac{2}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$＞0，
∴a≤0，
当-1＜x＜0时，x²+x＜0，则a＞$\frac{2}{{x}^{2}+x}$=$\frac{2}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$
当x=-$\frac{1}{2}$时，（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$有最小值，则$\frac{2}{（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}$有最大值-8，
∴a＞-8，
当x²+x=0时，恒成立，
综上所述a的取值范围为（-8，0]，
故答案为（-8，0]．

点评 本题主要结合导数与三角函数的简单性质考查了函数的单调性及奇偶性质进行解不等式，解题中要注意对所求问题的转化，属于中档题．