Question

1．已知菱形ABCD，P为ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，AB=4，∠DAB=120°，PA=3．求：二面角P-BD-A的正弦值．

Answer 1

分析 取BC中点E，以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-BD-A的正弦值．

解答 解：取BC中点E，连结AE，AC、BD，
∵菱形ABCD，P为ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，AB=4，∠DAB=120°，PA=3．
∴△ABC是正三角形，∴AE⊥AD，
以A为原点，AE为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∴B（2$\sqrt{3}$，-2，0），D（0，4，0），P（0，0，3），
$\overrightarrow{BD}$=（-2$\sqrt{3}$，6，0），$\overrightarrow{BP}$=（-2$\sqrt{3}$，2，3），
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-2\sqrt{3}x+6y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2\sqrt{3}x+2y+3z=0}\end{array}\right.$，
取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，$\frac{4}{3}$），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-BD-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{4}{3}}{\sqrt{3+1+\frac{16}{9}}}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{2}{\sqrt{13}}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
∴二面角P-BD-A的正弦值为$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．