Question

如图，在长方体中，是棱的中点，点在棱上，且（为实数）.

（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；

（2）试问：直线与直线能否垂直？请说明理由.

 

 

Answer 1

（1）．（2）不可能；理由祥见解析．

【解析】

试题分析：（1）建立空间直角坐标系，则可求出向量的坐标，从而就可求出平面D1AC的法向量，然后再利用向量的夹角公式，即可求得直线EF与平面D1AC所成角的正弦值；

（2）假设EF⊥EA，则•＝0，由此可得方程，判断方程有无解，有解则说明直线与直线能垂直，无解则说明直线与直线不能垂直．

试题解析：分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则A（2，0，0），C（0，4，0），D1（0，0，2），E（0，，2），F（1，4，0），则＝（2，0，?2），＝（0，4，?2）

（1）当λ＝时，E（0，1，2），=（1，3，-2），设平面D1AC的法向量为＝（x，y，z），则

由解得取，则，因为，，

，所以

因为，所以是锐角，是直线与平面所成角的余角，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

⑵假设，则，因为，

，所以，

化简，得，因为，所以该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线垂直．

考点：1.用空间向量求直线与平面的夹角；2.空间中直线与直线之间的位置关系.