Question

7．已知圆C：x²+（y-1）²=5，直线l过定点P（1，1）．
（1）求圆心C到直线l距离最大时的直线l的方程；
（2）若l与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）若l与圆C交与不同两点A、B，点P分弦AB为$\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$，求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由定点P（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5的内部，结合圆的弦长、弦心距及半径的关系可得圆心C到直线1距离最大时的直线1的方程；
（2）设AB中点M（x，y），由题意$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{PM}=0$，化简可得AB中点M的轨迹方程；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PB}$，化简得x₂=3-2x₁，由$\left\{{\begin{array}{l}{mx-y+1-m=0}\\{{x^2}+{{（y-1）}^2}=5}\end{array}}\right.$消去y得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0，利用韦达定理，即可得出结论．

解答 解：（1）∵点P（1，1）在圆C：x²+（y-1）²=5内
∴直线l与圆C相交，即直线l与圆C总有两个不同交点；
当CP⊥l时，圆心C到直线l距离最大，此时直线l的方程为x=1．…（4分）
（2）由题意$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{PM}=0$，
设M（x，y），则（x，y-1）•（x-1，y-1）=0，
化简得：x²+y²-x-2y+1=0，
故弦AB中点的轨迹方程是x²+y²-x-2y+1=0．…（8分）
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由$\frac{AP}{PB}=\frac{1}{2}$得$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{PB}$，
∴$1-{x_1}=\frac{1}{2}（{x_2}-1）$，化简得x₂=3-2x₁…①
又由$\left\{{\begin{array}{l}{mx-y+1-m=0}\\{{x^2}+{{（y-1）}^2}=5}\end{array}}\right.$消去y得（1+m²）x²-2m²x+m²-5=0…（*）
∴${x_1}+{x_2}=\frac{{2{m^2}}}{{1+{m^2}}}$…②
由①②解得${x_1}=\frac{{3+{m^2}}}{{1+{m^2}}}$，代入（*）式解得±1，
∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0．…（12分）

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判定，直线过定点问题，求点的轨迹方程，属于中档题