Question

12．已知关于x的不等式|x-1|+|x+3|≤m的解集不是空集，记m的最小值为t．
（Ⅰ）求t的值；
（Ⅱ）若不等式|x-1|+|x+3|＞|x-a|的解集包含[-1，0]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值的几何意义，转化求解t的值；
（Ⅱ）利用不等式的解集，以及已知条件转化不等式恒成立，推出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）因为|x-1|+|x+3|≥|（x-1）-（x+3）|=4，
当且仅当-3≤x≤1时取等号，
故m≥4，即t=4．       …（5分）
（Ⅱ）x∈[-1，0]．则x-1＜0．x+3＞0．
由已知得1-x+x+3＞|x-a|在x∈[-1，0]上恒成立，
∴x-4＜a＜x+4在x∈[-1，0]上恒成立，
∴-4＜a＜3．
∴实数a的取值范围是（-4，3）…（10分）

点评 本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．