Question

已知数列{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用待定系数法，根据a₁₀=15，且a₃、a₄、a₇成等比数列，建立方程组，可求首项与公差，从而可得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）先利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，再确定其单调性，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：设数列{a_n}的公差为d（d≠0），由已知得：
即：------（2分）
解之得：---------------------（4分）
所以a_n=2n-5，（n≥1）-------------------------（6分）
（Ⅱ）证明：∵．
∴，①
．②
①-②得：=
得，----------（10分）
∵，
∴T_n＜-1．------------------（12分）
∵，
∴T_n＜T_n+1（n≥2）-----------（13分）
而T₁＞T₂，所以T₂最小
又，所以
综上所述，．----------（14分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查数列的单调性，正确求数列的通项与求和是关键．