Question

我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别见下表：

空气污染指数	空气质量		空气污染指数	空气质量
0--50	优		201--250	中度污染
51--100	良		251--300	中度重污染
101--150	轻微污染		＞300	重污染
151----200	轻度污染

我们把某天的空气污染指数在0-100时称作A类天，101--200时称作B类天，大于200时称作C类天．
下图是某市2014年全年监测数据中随机抽取的18天数据作为样本，其茎叶图如下：（百位为茎，十、个位为叶）

（Ⅰ）从这18天中任取3天，求至少含2个A类天的概率；
（Ⅱ）从这18天中任取3天，记X是达到A类或B类天的天数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,茎叶图,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ） 从这18天中任取3天，取法种数有n=

C

3 18

，3天中至少有2个A类天的取法种数m=

C

2 3

C

1 15

+

C

3 3

，由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3天至少有2个A类天的概率．
（Ⅱ）X的一切可能的取值是3，2，1，0，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答： 解：（Ⅰ） 从这18天中任取3天，取法种数有n=

C

3 18

=816，
3天中至少有2个A类天的取法种数m=

C

2 3

C

1 15

+

C

3 3

=46，
所以这3天至少有2个A类天的概率为P=

m

n

=

46

816

=

23

408

．
（Ⅱ）X的一切可能的取值是3，2，1，0．
当X=3时，P（X=3）=

C 3 8

C 3 18

=

7

102

，
当X=2时，P（X=2）=

C 2 8 C 1 10

C 3 18

=

35

102

，
当X=1时，P（X=1）=

C 1 8 C 2 10

C 3 18

=

15

34

，
当X=0时，P（X=0）=

C 3 10

C 3 18

=

5

34

，
X的分布列为

X	3	2	1	0
P	7 102	35 102	15 34	5 34

数学期望为EX=

21+70+45

102

=

4

3

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．