Question

18．已知函数f（x）=$\frac{2}{x}$+3lnax-x，g（x）=xe^x+cosx（a≠0）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若?x₁∈[1，2]，x₂∈[0，3]，使得f（$\begin{array}{l}{x_1}\end{array}$）＞g（x₂）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为f（x）在[1，2]上的最大值大于g（x）在[0，3]的最小值，分别求出其最大值和最小值得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）依题知，a＞0时，x＞0；a＜0时，x＜0，
∵$f'（x）=-\frac{2}{x^2}+\frac{3a}{ax}-1=-\frac{{{x^2}-3x+2}}{x^2}$，
令f'（x）＞0，解得1＜x＜2；令f'（x）＜0，解得x＜1，或x＞2，
故当a＞0时，f（x）在（1，2）上为增函数，在（0，1）、（2，+∞）上为减函数；
a＜0时，f（x）在（-∞，0）上为减函数．…（6分）
（Ⅱ）?x₁∈[1，2]，x₂∈[0，3]，
使得f（x₁）＞g（x₂）成立，
?f（x）在[1，2]上的最大值大于g（x）在[0，3]的最小值，
由（Ⅰ）知，a＞0，且f（x）_max=f（2）=3ln2a-1，
又g'（x）=e^x+xe^x-sinx＞0在[0，3]恒成立，即g（x）在[0，3]上单调递增，
有g（x）_min=g（0）=1，
故依题得3ln2a-1＞1，
解得：$a＞\frac{1}{2}{e^{\frac{2}{3}}}$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题、分类讨论思想，是一道中档题．