Question

10．已知x，y满足线性约束条件：$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{2x+y-2≥0}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$，则目标函数z=y-3x的取值范围是（　　）

• A． $（-1，-\frac{1}{3}）$
• B． （-3，-1）
• C． $（-3，\frac{1}{3}]$
• D． $[-3，\frac{1}{3}]$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答 解：由z=y-3x得y=3x+z，
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{2x+y-2≥0}\\{x-1＜0}\end{array}\right.$，对应的平面区域如图，平移直线y=3x+z，
由图象可知当直线y=3x+z，过点B时，
直线y=3x+z的截距最小，此时z最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，即B（1，0）．
代入目标函数z=y-3x，
得z=0-3=-3，
∴目标函数z=x-2y的最小值是-3．
当直线y=3x+z，过点A时，
直线y=3x+z的截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{2x+y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$）．
代入目标函数z=y-3x，
得z=$\frac{4}{3}-3×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴目标函数z=y-3x的最大值是$\frac{1}{3}$．
目标函数z=y-3x的取值范围是（-3，$\frac{1}{3}$]
故选：C．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．