题目内容
19．已知椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短半轴长为1．（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）设椭圆G的短轴端点分别为A，B，点P是椭圆G上异于点A，B的一动点，直线PA，PB分别与直线x=4于M，N两点，以线段MN为直径作圆C．
①当点P在y轴左侧时，求圆C半径的最小值；
②问：是否存在一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由．
分析 （Ⅰ）由椭圆的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短半轴长为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）①设P（x0，y0），A（0，1），B（0，-1），直线PA的方程为：$y-1=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}x$，从而${y_M}=\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1$，同理${y_N}=\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1$，进而$|MN|=|2-\frac{8}{x_0}|$，由此能求出圆C半径的最小值．
②当P在左端点时，圆C的方程为：（x-4）2+y2=9；当P在右端点时，设P（2，0），A（0，1），B（0，-1），yM=-1，同理得到yN=1，圆C的方程为：（x-4）2+y2=1，由此能求出存在一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切，该定圆的圆心为（2，0）和半径R=1．
解答 解：（Ⅰ）因为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，短半轴长为1．
所以$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ \frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，得到$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\\ c=\sqrt{3}\end{array}\right.$，
所以椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．（3分）
（Ⅱ）①设P（x0，y0），A（0，1），B（0，-1）
所以直线PA的方程为：$y-1=\frac{{{y_0}-1}}{x_0}x$
令x=4，得到${y_M}=\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1$，
同理得到${y_N}=\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1$，得到$|MN|=|2-\frac{8}{x_0}|$
所以，圆C半径$r=|1-\frac{4}{x_0}|（-2≤{x_0}＜0）$
当x0=-2时，圆C半径的最小值为3．（9分）
②当P在左端点时，圆C的方程为：（x-4）2+y2=9
当P在右端点时，设P（2，0），A（0，1），B（0，-1）
所以直线PA的方程为：$y-1=\frac{-1}{2}x$
令x=4，得到yM=-1同理得到yN=1，
圆C的方程为：（x-4）2+y2=1，
由意知与定圆（x-2）2+y2=1相切，半径R=1
由前一问知圆C的半径$r=|1-\frac{4}{x_0}|=\left\{\begin{array}{l}1-\frac{4}{x_0}，-2≤{x_0}＜0\\ \frac{4}{x_0}-1，0＜{x_0}≤2\end{array}\right.$
因为${y_M}=\frac{{4（{y_0}-1）}}{x_0}+1$，${y_N}=\frac{{4（{y_0}+1）}}{x_0}-1$，圆C的圆心坐标为$（4，\frac{{4{y_0}}}{x_0}）$
圆心距$d=\sqrt{{{（4-2）}^2}+{{（\frac{{4{y_0}}}{x_0}）}^2}}$=$\sqrt{4+\frac{{16（1-\frac{{{x_0}^2}}{4}）}}{{{x_0}^2}}}$=$\frac{4}{{|{x_0}|}}=\left\{\begin{array}{l}-\frac{4}{x_0}，-2≤{x_0}＜0\\ \frac{4}{x_0}，0＜{x_0}≤2\end{array}\right.$
当-2≤x0＜0时，$d=r-R=（1-\frac{4}{x_0}）-1=-\frac{4}{x_0}$，此时定圆与圆C内切；
当0＜x0≤2时，$d=r+R=（\frac{4}{x_0}-1）+1=\frac{4}{x_0}$，此时定圆与圆C外切；
存在一个圆心在x轴上的定圆与圆C相切，该定圆的圆心为（2，0）和半径R=1．（14分）
点评 本题考查椭圆方程的求法，考查圆的半径的最小值的求法，考查满足条件的定圆是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
| A． | 圆 | B． | 椭圆 | C． | 双曲线 | D． | 直线 |